Lineare Funktionen.

Vergleiche \(f(x)=mx+b\) mit \(f(x)={\color{#4f46e5}-2}x+{\color{#7c3aed}5}\): \(m=-2\), \(b=5\) und \(P_y(0\mid5)\).

\(\begin{aligned}f({\color{#047857}3})&={\color{#4f46e5}-2}\cdot{\color{#047857}3}+{\color{#7c3aed}5}\\&=-6+5\\&={\color{#c2410c}-1}\end{aligned}\)

\(f({\color{#047857}1})=-2\cdot{\color{#047857}1}+5={\color{#c2410c}3}\). Der berechnete Wert stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(P(1\mid3)\) überein: Der Punkt liegt auf dem Graphen.

Wegen \(m<0\) ist \(f\) streng fallend. Wächst \(x\) um \(1\), sinkt \(f(x)\) um \(2\).

\(A({\color{#047857}-2}\mid{\color{#c2410c}-5})\), \(B({\color{#047857}4}\mid{\color{#c2410c}7})\). In Zähler und Nenner gilt dieselbe Reihenfolge: \(B-A\).

\(\begin{aligned}{\color{#4f46e5}m}&=\frac{{\color{#c2410c}7}-{\color{#c2410c}(-5)}}{{\color{#047857}4}-{\color{#047857}(-2)}}\\&=\frac{12}{6}={\color{#4f46e5}2}\end{aligned}\)

Nutze \(A\): Seine Koordinaten liefern \(x=-2\) und \(y=-5\).

\(\begin{aligned}{\color{#c2410c}-5}&={\color{#4f46e5}2}\cdot{\color{#047857}(-2)}+b\\-5&=-4+b\\{\color{#7c3aed}b}&={\color{#7c3aed}-1}\end{aligned}\)

Damit: \(f(x)={\color{#4f46e5}2}x{\color{#7c3aed}-1}\) und \(P_y(0\mid-1)\).

\(f({\color{#047857}3})={\color{#4f46e5}2}\cdot{\color{#047857}3}{\color{#7c3aed}-1}={\color{#c2410c}5}\)

\(0=2x-1\Rightarrow2x=1\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(\frac{1}{2}\mid0)\).

\(f({\color{#047857}-2})=-4-1={\color{#c2410c}-5}\) und \(f({\color{#047857}4})=8-1={\color{#c2410c}7}\). Beide Punkte passen.

\(\begin{aligned}{\color{#4f46e5}2}x{\color{#7c3aed}-3}&={\color{#4f46e5}-\frac{1}{2}}x+{\color{#7c3aed}2}\\\frac{5}{2}x&=5\\x&={\color{#047857}2}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}f({\color{#047857}2})&=2\cdot{\color{#047857}2}-3={\color{#c2410c}1}\\g({\color{#047857}2})&=-\frac{1}{2}\cdot{\color{#047857}2}+2={\color{#c2410c}1}\end{aligned}\)

Gleicher Eingang, gleicher Wert: \(S({\color{#047857}2}\mid{\color{#c2410c}1})\).

\(f\) und \(h\): \({\color{#4f46e5}m_f=m_h=2}\), aber \({\color{#7c3aed}b_f=-3}\) und \({\color{#7c3aed}b_h=1}\). Die Geraden sind verschieden und parallel. Beim Gleichsetzen entsteht der Widerspruch \(-3=1\).

\(k(x)=2x-2-1=2x-3=f(x)\). Die Graphen von \(f\) und \(k\) sind identisch: Jeder Geradenpunkt ist gemeinsam.

Startbestand: \({\color{#7c3aed}b=120}\). Abfluss: \({\color{#4f46e5}m=-7{,}5}\) in \(\frac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\). Mit den angegebenen Einheiten gilt:

\(V(t)={\color{#7c3aed}120}{\color{#4f46e5}-7{,}5}\,t\)

\(\begin{aligned}V({\color{#047857}4})&={\color{#7c3aed}120}{\color{#4f46e5}-7{,}5}\cdot{\color{#047857}4}\\&=120-30={\color{#c2410c}90}\end{aligned}\)

Nach \(4\,\mathrm{min}\) sind noch \(90\,\mathrm L\) im Tank.

\(\begin{aligned}120-7{,}5t&={\color{#c2410c}0}\\7{,}5t&=120\\t&=\frac{120}{7{,}5}={\color{#047857}16}\end{aligned}\)

Leer nach \(16\,\mathrm{min}\). Für \(30\,\mathrm L\) rechnest du genauso:

\(120-7{,}5t={\color{#c2410c}30}\Rightarrow7{,}5t=90\Rightarrow t={\color{#047857}12}\)

Im Zeitraum \(12<t\le16\) sind weniger als \(30\,\mathrm L\) vorhanden.

\(D=[0;16]\), \(W=[0;120]\). Zeiten zwischen vollen Minuten sind ebenfalls zulässig.

Die Fortsetzung liefert \(V({\color{#047857}18})=120-135={\color{#c2410c}-15}\). Eine negative Wassermenge ist unmöglich: Die lineare Vorhersage ist für \(t=18\) ungültig.

Für die Zeit nach der Leerung braucht man ein erweitertes Modell mit \(V(t)=0\) für \(t\ge16\).

\(A(n)={\color{#7c3aed}8}+{\color{#4f46e5}\frac{6}{5}}n,\quad B(n)={\color{#4f46e5}2}n\)

\(b\) beschreibt die Kosten ohne Besuch, \(m\) den Preis je zusätzlichem Besuch.

\(\begin{aligned}8+\frac{6}{5}n&=2n\\8&=\frac{4}{5}n\\n&={\color{#047857}10}\end{aligned}\)

\(A({\color{#047857}10})=8+\frac{6}{5}\cdot{\color{#047857}10}={\color{#c2410c}20}\) und \(B({\color{#047857}10})=2\cdot{\color{#047857}10}={\color{#c2410c}20}\). Bei \(10\) Besuchen kosten beide Tarife \(20\,\text{€}\).

\(\begin{aligned}8+\frac{6}{5}n&\lt2n\\8&\lt\frac{4}{5}n\\n&\gt10\end{aligned}\)

Die erste zulässige ganze Besuchszahl ist \(11\): Ab dann ist \(A\) günstiger. Unter \(10\) Besuchen ist \(B\) günstiger; bei \(10\) besteht Gleichstand.

\(\begin{aligned}A(n)&\le{\color{#c2410c}32}\\8+\frac{6}{5}n&\le32\\\frac{6}{5}n&\le24\\n&\le20\end{aligned}\)

Tarif \(A\): höchstens \(20\) Besuche, dann genau \(32\,\text{€}\). Tarif \(B\): \(2n\le32\Rightarrow n\le16\), also höchstens \(16\) Besuche.

Für das Modell gilt \(D=\mathbb N_0=\{0;1;2;\ldots\}\). Das Budget erlaubt davon \(0\le n\le20\) bei \(A\) und \(0\le n\le16\) bei \(B\).