Quadratische Funktionen.

Aus \(a=-2\), \(d=3\) und \(e=4\) folgt der Scheitelpunkt \(S(3\mid4)\).

Weil \(a<0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt \(-2(x-3)^2\le0\), also \(f(x)\le4\). Der Scheitel ist deshalb ein Maximum.

Die Symmetrieachse lautet \(x=3\). Da \(\lvert a\rvert=2>1\), ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.

\(2x^2-18=0\)

\(x^2=9\)

\(x=\pm3\)

Damit sind die Nullstellen \(-3\) und \(3\). Probe: \(2\cdot(-3)^2-18=0\) und \(2\cdot3^2-18=0\).

\(2(x-1)^2-8=0\)

\((x-1)^2=4\)

\(x-1=\pm2\)

\(x=1\pm2\)

Die Nullstellen sind \(-1\) und \(3\). Beim Einsetzen ergibt die Klammer jeweils \(-2\) beziehungsweise \(2\); beide Quadrate sind \(4\).

\(3x^2-12x=0\)

\(3x(x-4)=0\)

\(x=0\quad\text{oder}\quad x-4=0\)

Die Nullstellen sind \(0\) und \(4\). Weil \(3\ne0\), kann der erste Faktor nur durch \(x=0\) verschwinden. Teilen durch \(x\) wäre für diesen Fall nicht erlaubt und würde die Lösung \(0\) ausschließen.

Probe: \(3\cdot0^2-12\cdot0=0\) und \(3\cdot4^2-12\cdot4=48-48=0\).

Die Gleichung ist bereits normiert. Es gilt \(p=-6\) und \(q=8\).

\(x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-8}=3\pm\sqrt1=3\pm1\)

Damit sind \(x_1=2\) und \(x_2=4\). Weil \(\sqrt1=1>0\), liefern Addition und Subtraktion verschiedene Ergebnisse.

Probe: \(2^2-6\cdot2+8=4-12+8=0\) und \(4^2-6\cdot4+8=16-24+8=0\).

\(2x^2+8x-10=0\iff x^2+4x-5=0\)

Das Teilen der gesamten Gleichung durch die von \(0\) verschiedene Zahl \(2\) ist eine Äquivalenzumformung: Genau dieselben Werte erfüllen beide Gleichungen.

Also \(p=4\) und \(q=-5\).

\(x_{1,2}=-\frac42\pm\sqrt{\left(\frac42\right)^2-(-5)}=-2\pm\sqrt9=-2\pm3\)

Die Lösungen sind \(x_1=-5\) und \(x_2=1\).

Probe in der ursprünglichen Gleichung: \(2\cdot(-5)^2+8\cdot(-5)-10=50-40-10=0\) und \(2\cdot1^2+8\cdot1-10=0\).

\(f(x)=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4\)

Damit sind \(d=3\), \(e=-4\) und \(S(3\mid-4)\).

Für die Nullstellen löst du \(x^2-6x+5=0\) mit \(p=-6\) und \(q=5\).

\(x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-5}=3\pm\sqrt4=3\pm2\)

Die Nullstellen sind \(x_1=1\), \(x_2=5\); die Produktform lautet \(f(x)=(x-1)(x-5)\).

Probe durch Ausmultiplizieren: \((x-1)(x-5)=x^2-6x+5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1+5}{2}=3\); beide liegen im Abstand \(2\) zur Symmetrieachse \(x=3\).

\(f(x)=x^2+4x+4-4+7=(x+2)^2+3\)

Der Scheitel ist \(S(-2\mid3)\). Weil \((x+2)^2\ge0\), gilt überall \(f(x)\ge3>0\). Der gesamte Graph liegt über der \(x\)-Achse und besitzt keine reellen Nullstellen.

Der Scheitel liefert \(f(x)=a(x+2)^2-3\). Mit dem weiteren Punkt gilt \(15=a\cdot3^2-3\), also \(18=9a\) und \(a=2\). Der Faktor vor \(a\) ist \(9\ne0\); deshalb ergibt sich genau ein Wert für \(a\).

\(f(x)=2(x+2)^2-3=2x^2+8x+5\)

Nullstellen bestimmen und normieren: \(2x^2+8x+5=0\iff x^2+4x+\frac52=0\).

Setze \(p=4\) und \(q=\frac52\) direkt in die pq-Formel ein.

\(x_{1,2}=-\frac42\pm\sqrt{\left(\frac42\right)^2-\frac52}=-2\pm\sqrt{\frac32}=-2\pm\frac{\sqrt6}{2}\)

Also \(x_1\approx-3{,}225\) und \(x_2\approx-0{,}775\). Probe für den Punkt: \(f(1)=2\cdot9-3=15\).

Aus den Nullstellen folgt \(f(x)=a(x+1)(x-3)\). Mit dem Punkt gilt \(-6=a\cdot1\cdot(-3)=-3a\), also \(a=2\).

\(f(x)=2(x+1)(x-3)=2x^2-4x-6\)

Die Scheitelpunktform erhältst du durch quadratische Ergänzung:

\(f(x)=2(x^2-2x-3)=2\bigl((x-1)^2-4\bigr)=2(x-1)^2-8\)

Der Scheitel ist \(S(1\mid-8)\). Seine \(x\)-Koordinate stimmt mit dem Mittelwert der Nullstellen überein: \(\frac{-1+3}{2}=1\).

Jeder Faktor \(a\ne0\) in \(a(x+1)(x-3)\) liefert dieselben Nullstellen. Der weitere Punkt legt hier \(a\) eindeutig fest, weil das Produkt der Faktoren bei \(x=0\) gleich \(-3\ne0\) ist.

Probe: \(f(-1)=f(3)=0\) und \(f(0)=2\cdot1\cdot(-3)=-6\).

\(h(t)=-5(t^2-4t)+5=-5(t-2)^2+25\)

Der quadratische Term ist nie positiv. Daher beträgt die maximale Höhe \(25\,\mathrm{m}\) zum Zeitpunkt \(t=2\,\mathrm{s}\).

Landung: \(h(t)=0\iff t^2-4t-1=0\). Setze \(p=-4\) und \(q=-1\) direkt in die pq-Formel ein:

\(t_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-1)}=2\pm\sqrt5\)

Die Lösung \(2-\sqrt5<0\) liegt vor dem Abwurf. Zum Flug gehört \(t=2+\sqrt5\approx4{,}236\,\mathrm{s}\).

Randzeiten für die Höhe: \(h(t)=20\iff t^2-4t+3=0\). Mit \(p=-4\) und \(q=3\) ergibt die pq-Formel \(t_{1,2}=2\pm\sqrt{(-2)^2-3}=2\pm1\).

Die Randzeiten sind \(1\,\mathrm{s}\) und \(3\,\mathrm{s}\). Zwischen ihnen gilt \(h(t)\ge20\), etwa weil \(h(t)=-5(t-2)^2+25\) und dort \((t-2)^2\le1\).

\(1\,\mathrm{s}\le t\le3\,\mathrm{s}\)

Probe: \(h(1)=h(3)=20\,\mathrm{m}\), \(h(2)=25\,\mathrm{m}\). Beide Randzeiten gehören zum gesuchten Zeitraum.

\(g_k(x)=(x-2)^2+k-4\)

Weil \((x-2)^2\ge0\), ist das Minimum genau \(k-4\), angenommen bei \(x=2\). Daher gilt die Forderung genau dann, wenn \(k-4\ge0\).

\(g_k(x)\ge0\text{ für alle }x\in\mathbb R\iff k\ge4\)

Die Grenze ist \(k_0=4\). Im Grenzfall gilt \(g_4(x)=(x-2)^2\ge0\); der Graph berührt die Achse in \(S(2\mid0)\). Die Grenze gehört dazu, weil auch der Wert \(0\) erlaubt ist.

Für \(k>4\) liegt das Minimum über der Achse. Für \(k<4\) ist bereits \(g_k(2)=k-4<0\), sodass die Forderung nicht erfüllt ist.

Ein positiver \(y\)-Achsenabschnitt allein reicht nicht: Für \(k=1\) ist \(g_1(0)=1>0\), aber \(g_1(2)=-3<0\). Entscheidend ist das Minimum, nicht ein einzelner Funktionswert.