Potenzfunktionen.

\(2^3=8,\qquad2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\)

Bei \(n>0\) sind alle reellen Eingaben erlaubt: \(D=\mathbb R\). Bei \(n<0\) darf der Nenner nicht \(0\) sein: \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\).

Wir betrachten zunächst \(f(x)=x^n\) mit ganzzahligem \(n\ne0\). Das Vorzeichen von \(n\) entscheidet über Produkt oder Kehrwert. Gerade oder ungerade entscheidet über die Symmetrie.

\(x^{n+2}=x^n\cdot x^2\qquad(n>0)\)

Für \(0<x<1\) ist der zusätzliche Faktor \(x^2\) kleiner als \(1\). Für \(x>1\) ist er größer als \(1\). Bei \(x=1\) ändert er den Wert nicht.

Der Vergleich gilt auch für die Beträge bei negativen Eingaben. Weil sich \(n\) und \(n+2\) um eine gerade Zahl unterscheiden, bleibt ihre Art der Symmetrie gleich. Bei negativen Exponenten kehrt der Kehrwert den Betragsvergleich um; das untersuchst du bei den negativen Fällen.

Alle positiven geraden Potenzen teilen \((-1\mid1)\), \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\). Es gilt \(D=\mathbb R\), \(W=[0;\infty)\) und \(f(-x)=f(x)\).

\(\left(\frac12\right)^2=\frac14>\frac1{16}=\left(\frac12\right)^4\)

\(2^2=4<16=2^4\)

Zwischen \(0\) und \(1\) wird der Wert bei größerem Exponenten kleiner; bei Eingaben über \(1\) wird er größer. Wegen der Achsensymmetrie gilt derselbe Vergleich auf der linken Seite.

Alle positiven ungeraden Potenzen teilen \((-1\mid-1)\), \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\). Es gilt \(D=W=\mathbb R\) und \(f(-x)=-f(x)\).

\(f(x)=x^3:\qquad f(1)=1,\quad f(-1)=-1\)

Zu \((x\mid y)\) gehört \((-x\mid-y)\). Eine Drehung um \(180^\circ\) um den Ursprung bildet diese Punkte aufeinander ab. Bei \(n=1\) entsteht die Gerade \(y=x\).

\(x^{-2}=\frac1{x^2},\qquad x^{-4}=\frac1{x^4}\)

Die Graphen teilen \((-1\mid1)\) und \((1\mid1)\), besitzen aber keine Nullstelle. Es gilt \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(W=(0;\infty)\) und \(f(-x)=f(x)\).

Der linke Ast steigt auf \((-\infty;0)\); der rechte fällt auf \((0;\infty)\). Beide Koordinatenachsen sind Asymptoten.

\(f(x)=x^{-2}:\qquad f\!\left(\frac12\right)=4,\quad f(2)=\frac14\)

Der Graph kann der \(x\)-Achse beliebig nahe kommen. Der Wert \(0\) wird trotzdem nie erreicht.

\(x^{-1}=\frac1x,\qquad x^{-3}=\frac1{x^3}\)

Die Graphen teilen \((-1\mid-1)\) und \((1\mid1)\), besitzen aber keine Nullstelle. Es gilt \(D=W=\mathbb R\setminus\{0\}\) und \(f(-x)=-f(x)\).

Jeder Ast fällt auf seinem eigenen Intervall. Über die Definitionslücke hinweg darfst du daraus keine durchgehende Abnahme ableiten:

\(-1<1,\qquad f(-1)=-1<1=f(1)\)

Beide Koordinatenachsen sind Asymptoten.

\(x^0=\frac{x^m}{x^m}=1\qquad(x\ne0,\ m>0)\)

Bei \(x=0\) wäre dieser Quotient \(\frac00\), der nicht definiert ist. Die Festlegung \(f(0)=1\) gehört zur hier gewählten konstanten Funktion. Sie legt keinen allgemeinen Wert für \(0^0\) fest.

1. \(1\)

   Graph: Bei \(f(x)=x^2\) liegen \((1\mid1)\) und \((-1\mid1)\) auf gleicher Höhe.

2. \(2\)

   Tabelle: Zu gegenüberliegenden Eingaben gehören gleiche Werte: \(f(1)=f(-1)=1\).

3. \(3\)

   Term: Eine gerade Anzahl von Minuszeichen hebt sich auf. Deshalb gilt für jedes erlaubte \(x\):

   \((-x)^{2k}=x^{2k}\qquad(k=1,2,\ldots)\)

4. \(4\)

   Auch bei negativen Exponenten: Der Kehrwert ändert daran nichts:

   \((-x)^{-2k}=\frac1{(-x)^{2k}}=\frac1{x^{2k}}=x^{-2k}\qquad(x\ne0)\)

Der Graph muss die \(y\)-Achse nicht berühren. Entscheidend sind die passenden Spiegelpaare.

1. \(1\)

   Graph: Bei \(f(x)=x^3\) werden \((1\mid1)\) und \((-1\mid-1)\) durch eine halbe Drehung um den Ursprung aufeinander abgebildet.

2. \(2\)

   Tabelle: Die Werte sind Gegenzahlen: \(f(-1)=-f(1)=-1\).

3. \(3\)

   Term: Bei einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen bleibt ein Minuszeichen übrig:

   \((-x)^{2k-1}=-x^{2k-1}\qquad(k=1,2,\ldots)\)

4. \(4\)

   Auch bei negativen Exponenten: Der Kehrwert behält das Minuszeichen:

   \((-x)^{-(2k-1)}=-x^{-(2k-1)}\qquad(x\ne0)\)

Der Ursprung muss nicht auf dem Graphen liegen. Auch zwei getrennte Äste können zum Ursprung punktsymmetrisch sein.

Bei \(n=-k\) mit \(k>0\) gilt \(\lvert x^{-k}\rvert=\frac{1}{\lvert x\rvert^k}\). Wird der Nenner immer größer, wird der Kehrwert immer kleiner. Bei positiven Exponenten wird dagegen der Betrag immer größer. Eine gerade Potenz ist positiv; eine ungerade behält das Vorzeichen der Eingabe.

Für negative Exponenten ist \(y=0\) eine waagerechte Asymptote: eine Gerade, der sich der Graph nähert. Hier wird sie nie erreicht.

„lim“ steht für Grenzwert. Der Ausdruck unter „lim“ beschreibt die Richtung der Eingaben:

\(\lim_{x\to+\infty}x^{-2}=0\)

Lies: „Der Grenzwert von \(x^{-2}\) für \(x\) gegen plus unendlich ist \(0\).“ Dieselbe Aussage kannst du zunächst mit Pfeilen schreiben: \(x^{-2}\to0\) für \(x\to+\infty\).

Bei \(x^{-k}=\frac{1}{x^k}\) wird der Betrag des Nenners nahe \(0\) beliebig klein; der Betrag des Kehrwerts wird beliebig groß. Gerade oder ungerade entscheidet links über das Vorzeichen.

Bei negativen Exponenten bleiben die Werte bei \(\pm1\) erhalten, denn \(\frac11=1\) und \(\frac1{-1}=-1\). Der Punkt \((1\mid1)\) verrät daher noch nicht den Exponenten.

Eine offene Intervallgrenze bedeutet, dass der Wert nicht enthalten ist. Bei \(x^{-2}\) können die Werte beliebig nahe an \(0\) liegen, bleiben aber positiv. Deshalb gilt \(W=(0;\infty)\).

Wir verwenden \(a\ne0\). Bei geradem Exponenten ist \(f(-1)=a\); bei ungeradem ist \(f(-1)=-a\). Für positive Exponenten bleibt \((0\mid0)\) erhalten. Die Definitionsmenge ändert sich nicht.

\(f(x)=-2x^{-1}=-\frac2x:\qquad f(-1)=2,\quad f(1)=-2\)

Die beiden Punkte wurden an der \(x\)-Achse gespiegelt. Ihre Punktsymmetrie zum Ursprung bleibt erhalten. Bei einem negativen Faktor vertauschen sich auf jedem bisherigen Monotonieintervall Steigen und Fallen.

Diese Zuordnung gilt für die Basisfunktionen \(x^n\). \(x^2\) und \(x^4\) haben dieselbe Symmetrie, dieselben gemeinsamen Punkte und dasselbe Verhalten an den Enden.

Ein zusätzlicher Wert kann sie unterscheiden:

\(2^2=4,\qquad2^4=16\)

Auch \(x^{-2}\) und \(x^{-4}\) gehören zur selben Klasse. Bei \(x=2\) ergeben sie jedoch \(\frac14\) und \(\frac1{16}\). Faktoren oder Verschiebungen erfordern weitere Überlegungen.